Принцесса математики

2 просмотра 0

Математику знает лучше всех ученица 26-ой гимназии Элина Телешева.

Сборная России завоевала первое место на VII Европейской математической девчачьей олимпиаде, которая проходила во Флоренции с 9 по 15 апреля. Среди четырех девушек, представлявших Россию, есть и челнинка Элина Телешева.

– В первую очередь было интересно поучаствовать на олимпиаде, которая охватывает множество стран Европы и посоревноваться с остальными людьми, – говорит Элина. – На саму IMO (Международная математическая олимпиада) сложно попасть, вот и решила пройти на EGMO (Европейская математическая олимпиада для девушек).

Задания на олимпиаде были «российского типа», что значит, техника решения таких задач ей была знакома.

– После олимпиады наш тимлидер проверил работы и почти все девочки были уверены, что у них будет золото. Однако, узнав, что у России впервые будет четыре золота, все обрадовались.

Учится Элина в гимназии № 26. По словам девушки, всему ее научили педагоги. Особенно благодарит девушка учителя математики Любовь Владимировну Баеву.

Участие в олимпиаде принимали представительницы 52 стран. Наша команда в общем зачете с большим отрывом опередила сборные из США и Украины. В личном зачете каждая из девочек так же получила золотую медаль, заняв разные места.

Попробуй решить задачи, за которые Элина получила золото:

Задача 1. Дан треугольник ABC, в котором CA = CB и ZACB = 120°; а точка M — середина стороны AB. Пусть P — произвольная точка, лежащая на описанной окружности треугольни­ка ABC, а Q — точка на отрезке CP такая, что QP = 2QC. Прямая, проходящая через точку P перпендикулярно AB, пересекает прямую MQ в точке N.
Докажите, что существует некоторая окружность такая, что точка N лежит на этой окруж­ности вне зависимости от выбора точки P.

Задача 2. Рассмотрим множество
A = jl + 1 : k = 1, 2, 3,…}.
(a) Докажите, что любое целое число x > 2 может быть получено как произведение одного или нескольких не обязательно различных элементов множества A.
(b) Для каждого целого числа x > 2 через /(x) обозначим наименьшее целое число такое, что x может быть получено как произведение / (x) не обязательно различных элементов множе­ства A.
Докажите, что существует бесконечно много пар (x, y) целых чисел x > 2 и y > 2 таких, что
/ (xy) < / (x) + / (y).

(Пары (xi,yi) и (x2,y2) считаются различными, если xi = x2 или yi = y2).

Задача 3. Каждой из n участниц EGMO присвоен один из номеров Ci,…, Cn. После олимпи­ады они выстраиваются в очередь перед рестораном согласно следующим правилам:
— Жюри выбирает начальную расстановку участниц в очереди.
— Каждую минуту Жюри выбирает некоторое число i из промежутка 1 < i < n.

— Если перед участницей Ci стоят по крайней мере i других участниц, она платит Жюри один евро и перемещается в очереди вперёд ровно на i позиций.
— Если перед участницей Ci стоит менее, чем i других участниц, ресторан открывается и процесс заканчивается.

(c) Докажите, что этот процесс не может продолжаться бесконечно долго вне зависимости от действий Жюри.
(d) Для каждого n найдите наибольшее количество евро, которое Жюри может получить, выбрав начальную расстановку участниц и последовательность ходов.

Ранее в рубрике:

Комментарии

Оставить комментарий

Ваш email не будет опубликован.

Стоит прочитать

Закрыть
Наверх